1. Достаточно часто можно наблюдать такое движение тела, при котором его траекторией является окружность. По окружности движется, например, точка обода колеса при его вращении, точки вращающихся деталей станков, конец стрелки часов, ребенок, сидящий на какой‑либо фигуре вращающихся каруселей.

При движении по окружности может изменяться не только направление скорости тела, но и ее модуль. Возможно движение, при котором изменяется только направление скорости, а ее модуль остается постоянным. Такое движение называют равномерным движением тела по окружности. Введем характеристики этого движения.

2. Движение тела по окружности повторяется через определенные промежутки времени, равные периоду обращения.

Периодом обращения называют время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Период обращения обозначают буквой T. За единицу периода обращения в СИ принята секунда (1 с).

Если за время t тело совершило N полных оборотов, то период обращения равен:

T = .

Частотой обращения называют число полных оборотов тела за одну секунду.

Частоту обращения обозначают буквой n.

n = .

За единицу частоты обращения в СИ принята секунда в минус первой степени (1 с–¹).

Частота и период обращения связаны следующим образом:

 

n = .

3. Рассмотрим величину, характеризующую положение тела на окружности. Пусть в начальный момент времени тело находилось в точке A, а за время t оно переместилось в точку B (рис. 38).

Проведем радиус‑вектор из центра окружности в точку A и радиус‑вектор из центра окружности в точку B. При движении тела по окружности радиус‑вектор повернется за время t на угол j. Зная угол поворота радиуса‑вектора, можно определить положение тела на окружности.

Единица угла поворота радиуса‑вектора в СИ — радиан (1 рад).

При одном и том же угле поворота радиуса‑вектора точки A и B, находящиеся на разных расстояниях от его центра равномерно вращающегося диска (рис. 39), пройдут разные пути.

4. При движении тела по окружности мгновенную скорость называют линейной скоростью.

Линейная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, оставаясь постоянной по модулю, меняется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории.

Модуль линейной скорости можно определить по формуле:

v = .

Пусть тело, двигаясь по окружности радиусом R, совершило один полный оборот, Тогда пройденный им путь равен длине окружности: l = 2pR, а время равно периоду обращения T. Следовательно, линейная скорость тела:

 

v = .

Поскольку T = , то можно записать

v = 2pRn.

Быстроту обращения тела характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью называют физическую величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел.

Угловая скорость обозначается буквой w.

 

w = .

За единицу угловой скорости в СИ принимают радиан в секунду (1 рад/с):

[w] = = 1 рад/с.

За время, равное периоду обращения T, тело совершает полный оборот и угол поворота радиуса-вектора j = 2p. Поэтому угловая скорость тела:

w = или w = 2pn.

Линейная и угловая скорости связаны друг с другом. Запишем отношение линейной скорости к угловой:

= = R.

Таким образом,

 

v = wR.

При одинаковой угловой скорости точек A и B, расположенных на равномерно вращающемся диске (см. рис. 39), линейная скорость точки A больше линейной скорости точки B: v_A > v_B.

5. При равномерном движении тела по окружности модуль его линейной скорости остается постоянным, а направление скорости меняется. Поскольку скорость — величина векторная, то изменение направления скорости означает, что тело движется по окружности с ускорением.

Выясним, как направлено и чему равно это ускорение.

Напомним, что ускорение тела определяется по формуле:

a = = ,

где Dv — вектор изменения скорости тела.

Направление вектора ускорения a совпадает с направлением вектора Dv.

Пусть тело, движущееся по окружности радиусом R, за ма-лый промежуток времени t переместилось из точки A в точку B (рис. 40). Чтобы найти изменение скорости тела Dv, в точку Aперенесем параллельно самому себе вектор v и вычтем из него v₀, что равноценно сложению вектора v с вектором –v₀. Вектор, направленный от v₀ к v, и есть вектор Dv.

Рассмотрим треугольники AOB и ACD. Оба они равнобедренные (AO = OB и AC = AD, поскольку v₀ = v) и имеют равные углы: _AOB = _CAD (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: AO B v₀, OB B v). Следовательно, эти треугольники подобны и можно записать отношение соответствующих сторон: = .

Поскольку точки A и B расположены близко друг к другу, то хорда AB мала и ее можно заменить дугой . Длина дуги — путь, пройденный телом за время t с постоянной скоростью v: AB = vt.

Кроме того, AO = R, DC = Dv, AD = v. Следовательно,

= ; = ; = a.

Откуда ускорение тела

 

a = .

Из рисунка 40 видно, что чем меньше хорда AB, тем точнее направление вектора Dv совпадает с радиусом окружности. Следовательно, вектор изменения скорости Dv и вектор ускорения aнаправлены по радиусу к центру окружности. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называют центростремительным.

Таким образом,

при равномерном движении тела по окружности его ускорение постоянно по модулю и в любой точке направлено по радиусу окружности к ее центру.

Учитывая, что v = wR, можно записать другую формулу центростремительного ускорения:

 

a = w2R.

6. Пример решения задачи

Частота обращения карусели 0,05 с–¹. Человек, вращающийся на карусели, находится на расстоянии 4 м от оси вращения. Определите центростремительное ускорение человека, период обращения и угловую скорость карусели.

 

Дано:	Решение
n = 0,05 с–1 R = 4 м	Центростремительное ускорение равно: a = w2R=(2pn)2R=4p2n2R. Период обращения: T = . Угловая скорость карусели: w = 2pn.
a ? T ? w ?

a = 4•(3,14)^2•(0,05с–¹)² •4 м  0,4 м/с²;

T = = 20 с;

w = 2•3,14•0,05 с–¹ 0,3 рад/с.

Ответ: a 0,4 м/с²; T = 20 с; w  0,3 рад/с.

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равномерным движением по окружности?

2. Что называют периодом обращения?

3. Что называют частотой обращения? Как связаны между собой период и частота обращения?

4. Что называют линейной скоростью? Как она направлена?

5. Что называют угловой скоростью? Что является единицей угловой скорости?

6. Как связаны угловая и линейная скорости движения тела?

7. Как направлено центростремительное ускорение? По какой формуле оно рассчитывается?

Задание 9

1. Чему равна линейная скорость точки обода колеса, если радиус колеса 30 см и один оборот она совершает за 2 с? Чему равна угловая скорость колеса?

2. Скорость автомобиля 72 км/ч. Каковы угловая скорость, частота и период обращения колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Сколько оборотов совершит колесо за 10 мин?

3. Чему равен путь, пройденный концом минутной стрелки будильника за 10 мин, если ее длина 2,4 см?

4. Каково центростремительное ускорение точки обода колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Скорость автомобиля 54 км/ч.

5. Точка обода колеса велосипеда совершает один оборот за 2 с. Радиус колеса 35 см. Чему равно центростремительное ускорение точки обода колеса?

 

Первый закон Ньютона<<		>>Перемещение и скорость при криволинейном движении