1. Используя график зависимости скорости от времени, можно получить формулу перемещения тела при равномерном прямолинейном движении.

На рисунке 30 приведен график зависимости проекции скорости равномерного движения на ось X от времени. Если восставить перпендикуляр к оси времени в некоторой точке C, то получим прямоугольник OABC. Площадь этого прямоугольника равна произведению сторон OA и OC. Но длина стороны OA равна v_x, а длина стороны OC — t, отсюда S = v_xt. Произведение проекции скорости на ось X и времени равно проекции перемещения, т. е. s_x = v_xt.

Таким образом, проекция перемещения при равномерном прямолинейном движении численно равна площади прямоугольника, ограниченного осями координат, графиком скорости и перпендикуляром, восставленным к оси времени.

2. Получим аналогичным образом формулу проекции перемещения при прямолинейном равноускоренном движении. Для этого воспользуемся графиком зависимости проекции скорости на ось X от времени (рис. 31). Выделим на графике малый участок ab и опустим перпендикуляры из точек a и b на ось времени. Если промежуток времени Dt, соответствующий участку cd на оси времени, мал, то можно считать, что скорость в течение этого промежутка времени не изменяется и тело движется равномерно. В этом случае фигура cabd мало отличается от прямоугольника и ее площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку cd.

На такие полоски можно разбить всю фигуру OABC, и ее площадь будет равна сумме площадей всех полосок. Следовательно, проекция перемещения тела за время t численно равна площади трапеции OABC. Из курса геометрии вы знаете, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты: S = (OA + BC)OC.

Как видно из рисунка 31, OA = v_0x, BC = v_x, OC = t. Отсюда следует, что проекция перемещения выражается формулой: s_x = (v_x + v_0x)t.

При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела в любой момент времени равна v_x = v_0x + a_xt, следовательно, s_x = (2v_0x + a_xt)t.

Отсюда:

 

sx = v0xt + .

Если начальная скорость тела равна нулю, то формула проекции перемещения тела имеет вид:

 

sx = .

Чтобы получить уравнение движения тела, подставим в формулу проекции перемещения ее выражение через разность координат s_x = x – x₀.

Получим: x – x₀ = v_0xt + , или

 

x = x0 + v0xt + .

По уравнению движения можно определить координату тела в любой момент времени, если известны начальная координата, начальная скорость и ускорение тела.

3. На практике часто встречаются задачи, в которых нужно найти перемещение тела при равноускоренном прямолинейном движении, но время движения при этом неизвестно. В этих случаях используют другую формулу проекции перемещения. Получим ее.

Из формулы проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения v_x = v_0x + a_xt выразим время:

t = .

Подставив это выражение в формулу проекции перемещения, получим:

s_x = v_0x + .

Отсюда:

s_x = , или
– = 2a_xs_x.

Если начальная скорость тела равно нулю, то:

= 2a_xs_x.

Полученная формула позволяет рассчитать тормозной путь транспортных средств, т. е. путь, который проезжает, например, автомобиль до полной остановки.

4. Пример решения задачи

Лыжник съезжает со склона горы из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с² за 20 с и дальше движется по горизонтальному участку, проехав до остановки 40 м. С каким ускорением двигался лыжник по горизонтальной поверхности? Какова длина склона горы?

 

Дано:	Решение
v01 = 0 a1 = 0,5 м/с2 t1 = 20 с s2 = 40 м v2 = 0	Движение лыжника состоит из двух этапов: на первом этапе, спускаясь со склона горы, лыжник движется с возрастающей по модулю скоростью; на втором этапе при движении по горизонтальной поверхности его скорость уменьшается. Величины, относящиеся к первому этапу движения, запишем с индексом 1, а ко второму этапу с индексом 2.
a2 ? s1 ?

Систему отсчета свяжем с Землей, ось X направим по направлению скорости лыжника на каждом этапе его движения (рис. 32).

Запишем уравнение для скорости лыжника в конце спуска с горы:

v₁ = v₀₁ + a₁t₁.

В проекциях на ось X получим: v_1x = a_1xt. Поскольку проекции скоростии ускорения на ось X положительны, модуль скорости лыжника равен: v₁ = a₁t₁.

Запишем уравнение, связывающее проекции скорости, ускорения и перемещения лыжника на втором этапе движения:

– = 2a_2xs_2x.

Учитывая, что начальная скорость лыжника на этом этапе движения равна его конечной скорости на первом этапе

v₀₂ = v₁, v_2x = 0 получим

– = –2a₂s₂; (a₁t₁)² = 2a₂s₂.

Отсюда a₂ = ;

a₂ = = 0,125 м/с².

Модуль перемещения лыжника на первом этапе движения равен длине склона горы. Запишем уравнение для перемещения:

s_1x = v_01xt + .

Отсюда длина склона горы равна s₁ = ;

s₁ = = 100 м.

Ответ: a₂ = 0,125 м/с²; s₁ = 100 м.

Вопросы для самопроверки

1. Как по графику зависимости проекции скорости равномерного прямолинейного движения на ось X от времени определить проекцию перемещения тела?

2. Как по графику зависимости проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения на ось X от времени определить проекцию перемещения тела?

3. По какой формуле рассчитывается проекция перемещения тела при равноускоренном прямолинейном движении?

4. По какой формуле рассчитывается проекция перемещения тела, движущегося равноускоренно и прямолинейно, если начальная скорость тела равна нулю?

Задание 7

1. Чему равен модуль перемещения автомобиля за 2 мин, если за это время его скорость изменилась от 0 до 72 км/ч? Какова координата автомобиля в момент времени t = 2 мин? Начальную координату считать равной нулю.

2. Поезд движется с начальной скоростью 36 км/ч и ускорением 0,5 м/с². Чему равны перемещение поезда за 20 с и его координата в момент времени t = 20 с, если начальная координата поезда 20 м?

3. Каково перемещение велосипедиста за 5 с после начала торможения, если его начальная скорость при торможении равна 10 м/с, а ускорение составляет 1,2 м/с²? Чему равна координата велосипедиста в момент времени t = 5 с, если в начальный момент времени он находился в начале координат?

4. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, останавливается при торможении в течение 15 с. Чему равен модуль перемещения автомобиля при торможении?

5. Два автомобиля движутся навстречу друг другу из двух населенных пунктов, находящихся на расстоянии 2 км друг от друга. Начальная скорость одного автомобиля 10 м/с и ускорение 0,2 м/с², начальная скорость другого — 15 м/с и ускорение 0,2 м/с². Определите время и координату места встречи автомобилей.

Лабораторная работа № 1

Исследование равноускоренного
прямолинейного движения

Цель работы:

научиться измерять ускорение при равноускоренном прямолинейном движении; экспериментально установить отношение путей, проходимых телом при равноускоренном прямолинейном движении за последовательные равные промежутки времени.

Приборы и материалы:

желоб, штатив, металлический шарик, секундомер, измерительная лента, цилиндр металлический.

Порядок выполнения работы

1. Укрепите в лапке штатива один конец желоба так, чтобы он составлял небольшой угол с поверхностью стола. У другого конца желоба положите в него цилиндр металлический.

2. Измерьте пути, проходимые шариком за 3 последовательных промежутка времени, равных 1 с каждый. Это можно сделать по‑разному. Можно поставить мелом на желобе метки, фиксирующие положения шарика в моменты времени, равные 1 с, 2 с, 3 с, и измерить расстояния s_ между этими метками. Можно, отпуская каждый раз шарик с одной и той же высоты, измерить путь s, пройденный им сначала за 1 с, затем за 2 с и за 3 с, а затем рассчитать путь, пройденный шариком за вторую и третью секунды. Результаты измерений запишите в таблицу 1.

3. Найдите отношения пути, пройденного за вторую секунду, к пути, пройденному за первую секунду, и пути, пройденного за третью секунду, к пути, пройденному за первую секунду. Сделайте вывод.

4. Измерьте время движения шарика по желобу и пройденный им путь. Вычислите ускорение его движения, используя формулу s = .

5. Используя экспериментально полученное значение ускорения, вычислите пути, которые должен пройти шарик за первую, вторую и третью секунды своего движения. Сделайте вывод.

Таблица 1

 

№ опыта	Экспериментальные данные					Теоретические результаты
	Время t, с	Путь s,см	Время t, с	Путь s, см	Ускорение a, см/с2	Время t,с	Путь s,см
1	1		1			1
2	1		2			1
3	1		3			1

>>Математический и пружинный маятники